Elle porte le nom de place de l'Allier depuis 1871. Anciennement dénommé place de la Fontaine, Fontaine des Trois Cornets et place Laeticia, après Laeticia Bonaparte. Dès le 15e siècle, la fontaine des Trois Cornets servait les habitants de Vichy. L'eau venait de la font Violant et approvisionnait le couvent des Céléstins. Dans le 16e et 17e, un grenier à sel fonctionnait à cette place, dans l'emplacement . Il constituait pour Vichy une véritable richesse, qui fut fermé à la Révolution. L'actuelle fontaine est l'œuvre du sculpteur André Tajana